Трехшарнирная система – это система из двух дисков, связанных между собой и основанием тремя шарнирами. Есть трехшарнирные системы двух видов: арочные и подвесные системы.
Арки – сооружения, у которых два диска представляют собой криволинейные стержни, оси которых описаны аналитически или заданы таблично. Если в трехшарнирной системе два диска являются сквозными решетчатыми конструкциями, то такая система называется трехшарнирной арочной фермой. Если в трехшарнирной системе два диска являются прямолинейными или ломаными стержнями, то такая конструкция называется трехшарнирной рамой.
В принципиальном отношении расчет трехшарнирной арки не отличается от расчета других статически определимых систем: вначале определяются опорные реакции, затем строятся эпюры изгибающего момента, продольного и перерезывающего усилия, после чего выполняются проверки и, при необходимости, определяются перемещения. Единственная особенность, с которой приходится сталкиваться, — появление чисто вычислительных трудностей, связанных с криволинейностью очертания оси арки.
Арка мысленно разбивается на ряд участков, чтобы в сечения обязательно попали сосредоточенные силы и дополнительные, так как эпюры внутренних сил в при любой нагрузке криволинейны. Следует предусмотреть достаточное количество сечений для достижения точности расчета.
Как и любой расчёт, расчёт трёхшарнирной арки начинают с определения опорных реакций. На рисунке изображена арка с пятами на одном уровне, находящаяся под воздействием системы внешних нагрузок.
Вертикальные составляющие Va и Vb опорных реакций Ra и Rb находят из рассмотрения пролёта арки как пролёта балки. Тогда из åМВ = 0 следует
, а из åМА = 0 Þ .
Здесь å представляет собой балочный момент, т.е. изгибающий момент, создаваемый действием вертикальных сил.
Для определения горизонтальных составляющих опорных реакций НА и НВ рассмотрим равновесие арки в целом. Составим уравнение статики – суммы проекций всех сил, действующих на арку, на горизонтальную ось х. åх=НА — НВ = 0 Þ НА = НВ = Н. Далее, составляя уравнение моментов относительно замкового шарнира С, рассматривая при этом равновесие либо левой, либо правой полуарок, можно записать
Исходя из полученных находят
Для определения внутренних усилий в произвольном сечении арки мысленно в этом сечении проводят плоскость, нормальную к оси арки. Положение плоскости определяется координатами её центра тяжести хк, ук и jк.
Отделяемая этим сечением любая из частей арки находится в равновесии под действием приложенных к рассматриваемой части арки внешних сил и равнодействующей R внутренних сил, приложенной к плоскости сечения. С отнесением равнодействующей R в центр тяжести сечения внутренние усилия в сечении арки будут определяться изгибающим моментом, поперечной силой и продольной силой .
Рассматривая равновесие оставшейся части арки, составляют уравнение моментов относительно сечения k и уравнения проекций всех сил на нормаль n и касательную к оси арки в точке к соответственно.
Исходя из этого получены выражения
;
;
.
В формуле представляет собой так называемую балочную поперечную силу в сечении k при рассмотрении пролёта арки как пролёта балки.
По приведённым формулам строят эпюры внутренних усилий, предварительно определив геометрические параметры каждого рассматриваемого сечения трёхшарнирной арки.
Для сплошной трехшарнирной арки требуется аналитически определить моменты, поперечные и нормальные силы в сечениях К1 и К2 от действия постоянной нагрузки.Арка очерчена по окружности. Дано:
Решение:
1) Определение реакций в трехшарнирной арке
Вертикальные реакции в арке определяются так же, как в балке.
Горизонтальные реакции HA, HB (распор) определяются как сумма моментов вокруг шарнира С правой и левой части арки, где f – стрела подъема арки.
2) Определение усилий в арке
При очертании арки по окружности находим необходимые геометрические размеры арки:
— радиус кривизны арки:
— ординаты сечений К1 и К2:
— синус и косинус угла наклона касательной в сечениях К1 и К2:
а) рассматриваем сечение К1
б) рассматриваем сечение К2
Литература
Арка// Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Трехшарнирная система – это система из двух дисков, связанных между собой и основанием тремя шарнирами. Есть трехшарнирные системы двух видов: арочные и подвесные системы.
.
, поперечной силой
и продольной силой 
.
.
представляет собой так называемую балочную поперечную силу в сечении k при рассмотрении пролёта арки как пролёта балки.
